MEDIDAS DE POCISION O DE TENDENCIA CENTRAL
Habíamos considerado anteriormente que la estadística tenía como finalidad entre otras cosas, la de describir el comportamiento de un hecho o de un conjunto de observaciones, mediante la elaboración de cuadros gráficas y la aplicación de medidas de posición y de dispersión, para determinar un valor considerado como normal o típico, las medidas de posición o tendencia central nos permite determinar la posición de un valor respecto a a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo para el total de las observaciones.
Estas medidas aplicadas a las características de las unidades en una muestra se les denomina estimadores o estadigrafos, en cambio aplicados a las catacteristicas de los elementos de una población
Cuando a raíz de una encuesta aplicada en un barrio de la ciudad, afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es de 2 litros por semana, estamos representando una gama o variedad de consumo, que va desde familias que no consumen hasta un consumo superior de 2 litros.
Con esta información hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de ciudad; también el resultado puede ser comparado por el consumo promedio de otros barrios o el consumo promedio de personas, o establecer la relación que hay entre el consumo y los niveles de ingreso. Dentro de los promedios se considera entre otros los siguientes:
1. Media aritmética
2. Mediana
3. Moda
4. Media geométrica
5. Media armónica
6. Media cuadrática
7. Media cubica
8. Centro recorrido
9. Persentiles.
REGLAS PARA EL USO DE LOS PROMEDIOS
1. Cuando la serie tenga forma de progresión geométrica, debe usarse el promedio.
2. Para calcular la velocidad media debe usarse la media armónica.
3. Cuando la distribución sea muy asimétrica, debe considerarse la posibilidad de usar la mediana o la moda.
4. Cuando la distribución tenga forma de “U” ósea que pueda representarse con una curva con cada de extremos iguales, debe usarse la moda.
5. Cuando quiere dársele importancia a valores pequeños de la variable es aconsejable la media geométrica.
6. Es una distribución cuyos valores extremos no están definidos, es aconsejable la moda o la mediana.
7. Cuando hay alguna razón para pensar que el promedio aritmético no representa muy bien la distribución, debido a que los valores extremos lo afectan por otras razones debe considerarse la posibilidad de usar la mediana o la moda.
8. Cuando la amplitud de la distribución no es constante, no debe el modo.
9. Cuando se quiera promediar relaciones (tasas) se debe usar la media armónica.
10. En los demás casos debe usarse la media aritmética.
MEDIA ARITMÉTICA.
Es la media de tendencia más utilizada, más conocida y más fácil de utilizar y de calcular, de gran estabilidad en el muestreo y sus formulas admiten tratamientos algebraicos. Su desventaja principalmente es el de ser muy sensible a los cambios que se hagan en alguno de sus valores, o cuando los valores extremos son demasiados grandes o demasiado pequeños.
Se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.
X = ∑Xi/n 
y de esta forma se aplica en datos sin agrupar los datos originales.
Ejemplo:
encontrar la media aritmética de los números de pares de zapatos por salón en el grupo 10A
X1=10 x6=5 x11=1 x16=9 x21=9 x26=13 x31=7
X2=15 x7=6 x12=7 x17=12 x22=8 x27=16
X3=6 x8=8 x13=10 x18=4 x23=8 x28=10
X4=7 x9=9 x14=11 x19=8 x24=13 x29=7
X5=5 x10=12 x15=9 x20=6 x25=10 x30=5
X = ∑Xi/n 
=10+15+6+7+5+5+6+8+9+12+10+7+10+11+9+9+12+4+8+6+9+8+8+13+10+13+16+10+7+5+7 / 31
= 275 / 31 = 8.87Ejercicio
Encuentre la media aritmética de los siguientes datos agrupados
Yi
|
ni
|
Yi.ni
|
2
|
4
|
8
|
4
|
1
|
4
|
6
|
2
|
12
|
8
|
3
|
24
|
X= ∑ Yi.ni
____________
n
8+4+12+24
___________ = 4.8
10
MODA
esta es otra de las medidas de la tendencia central que es igual al valor de la observación que aparece con mayor frecuencia.
MODA
esta es otra de las medidas de la tendencia central que es igual al valor de la observación que aparece con mayor frecuencia.
Ejemplo: un concesionario vende vehículos de marca chevrolet, Renault, mazda, honda, Hyundai.
En el mes de diciembre de 2004 se presento el siguiente número de ventas.
Mes
|
Chevrolet
|
Hyunday
|
Mazda
|
Honda
|
Junio
|
20
|
12
|
30
|
20
|
Julio
|
17
|
7
|
25
|
17
|
Agosto
|
20
|
6
|
20
|
14
|
Septiembre
|
12
|
9
|
16
|
6
|
Octubre
|
16
|
11
|
17
|
8
|
Noviembre
|
15
|
11
|
20
|
11
|
Diciembre
|
23
|
20
|
36
|
20
|
Para identificar el factor modal sencillamente identificamos el valor que más se repite y en este caso es 20, por lo tanto es el dato que pretende encontrar la moda.
La moda es importante sobre todo en los estudios de mercado para identificar que se está imponiendo o que está de moda, que es lo que más se repite o tiene más frecuencia.
Ejercicio!
Un grupo de estudiantes de la empresa multifuncional CB inscritos en marketing, publicidad y ventas deciden hacer una investigación de mercados para tener una idea clara de las prendas de vestir para damas que debía poner en venta en el centro comercial de Pereira.
Para ello realizaron un conteo de personas que ingresaron por las 6 puertas principales del centro comercial identificando si usaban camisetas o blusas con jeans, vestidos formales blusa y falda informal con pantalones en lino u otro material mas formal y vestidos elegantes.
La tabla de frecuencias fue la sigueinte donde:
A: Camisetas o blusas con jenas
B: Vestidos formales
C: Blusa o falda informla sport
D: Camisetas o blusas con pantalones o falda en lino u otro material mas formal
E: Vestidos elegante
Encontrar la media aritmética la moda y recomendar una estrategia a utilizar en la oferta que va a utilizar en la oferta que se va a realizar e el centro comercial.
SOLUCIÓN
Media aritmética:
2+3+6+7+8+10+15+22+32+42+48+35+79+85+86+94+95+102+420+106+109+152+182+220+225+153+235
__________________________________________________________________________
30
2573
_______ = 85.76 La media aritmética seria 85.76
30
La moda seria 105 ya que es el valor que mas se repite
MEDIANA.
Medida de tendencia central que se ubica en la mitad de los datos. Requiere que los datos estén ordenados de menor a mayor o viceversa es decir. Que hay tantos valores por encima de la mediana como por debajo de ella en la ordenación de los datos.
EJEMPLO: encuentre la mediana de los siguientes datos.
Mediana (m)
DATOS
|
ESTATURA
|
EDAD
|
1
|
1.55
|
16
|
2
|
1.57
|
16
|
3
|
1.73
|
16
|
4
|
1.64
|
17
|
5
|
1.56
|
15
|
6
|
1.67
|
16
|
7
|
1.70
|
16
|
8
|
1.55
|
17
|
9
|
1.68
|
16
|
10
|
1.62
|
16
|
11
|
16
|
Mediana en estatura
Dato
|
Estatura
|
1
|
1.55
|
8
|
1.55
|
5
|
1.56
|
2
|
1.57
|
10
|
1.62
|
4
|
1.64
|
6
|
1.67
|
9
|
1.68
|
7
|
1.70
|
3
|
1.73
|
Mediana: 1.62 + 164
___________ = 1.63
2
Mediana en edad
Dato
|
Edad
|
5
|
15
|
1
|
16
|
2
|
16
|
3
|
16
|
6
|
16
|
7
|
16
|
9
|
16
|
10
|
16
|
11
|
16
|
4
|
17
|
8
|
17
|
Mediana: 16
Media Geometrica
La media geométrica es una mediad de tendencia central que tiene dos presentaciones:
La primera se usa para promediar porcentaje indices y cifras relativas.
Se define como la raiz enésima ( n- esimas) del producto de n números asi
Hallar la media geométrica de la tasa de desempleo en la ciudad de Bogota de los periodos comprendidos entre los años 1990 2000 partiendo de la siguiente información suministrada por el DANE
AÑO
|
TASA
|
1990
|
10.80%
|
1991
|
8.10%
|
1992
|
8.50%
|
1993
|
5.70%
|
1994
|
7.20%
|
1995
|
7.60%
|
1996
|
9.10%
|
1997
|
10.6%
|
1998
|
15.3%
|
1999
|
16.9%
|
2000
|
20.3%
|
MG= 10.147%
SEGUNDA PRESENTACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA
El salario minimo en Colombia en 1990 se ubicaba en 41125 y en el año 2004era de 358000
Identifique mediante la media geometrica la tasa de interes:
Solucion
Numero de años 15años
Valor final del periodo: 358000
Valor inicial del periodo :41125
MG= 0.1671
Luego se multiplica por100
= 16.71%
Desde el punto de vista financiero significa que el incremento anual promedio fue del 16.71% y se expresa en porcentaje debido a que la solicitud del problema es de tasa de interés significando que a lo largo del periodo de 1990 a lo largo del periodo de 1990 al 204 el incremento anual fue de 16.7%
Medidas de tendencia central para datos agrupados
Media aritmética: La media aritmética para datos agrupados es una medida de tendencia central y se diferencia de los datos no agrupados en el tratamiento de su propia agrupación
La expresión que permite calcular la media aritmética es
__ ∑ Fx
X _________
n
X= punto medio
F= es la frecuencia de la clase
Fx = frecuencia de la clase multiplicado por el punto medio
n= numero total de frecuencias
Para desarrollar las medidas de tendencia central para datos agrupados maestrales se necesita hacer un proceso que lo explicaremos por medio de un ejercicio
El precio de los arriendos para lasviviendas en la ciudad de Bogota en el sectorSur fue de la sgte manera
200000-1'000000-210000-990000-230000-970000-240000-380000-310000-980000-870000-370000-410000-470000-510000-840000-640000-560000-590000-890000-830000-220000-240000-900000-910000-990000-820000-860000-910000-950000-250000-390000-340000-290000-260000-280000-370000-830000-760000-870000.
Solucion.
Se ordenan los datos y en esta oportunidad lo hacemos en forma ascendente
200000-210000-220000-230000-240000-240000-250000-260000-280000-290000-310000-340000-37000.0-370000-380000-390000-410000-470000-510000.-560000-590000-640000-760000-820000-830000-83000-840000-860000-870000-870000-890000-910000-910000-950000-960000-970000-980000-990000-990000-1'000000.
Luego establecemos el intervalo de clase
Es la distancia entre el limite inferior izquierdo y el limite superior derecho. Para hallarlo utilizamos la sgte expresion
IC= Dato mayor- Dato menor
______________________
1+3,322 log (n)
IC= 1'000.000-200.000
_____________________ = 126541,367 Aproximadamente= 125000
1+3,22 (Log40)
Los anteriores datos son ayudas para ubicar el ancho o el espesor del intervalo de clase = 126,367 y el de-terminador 6,32 la cantidad de intervalos de clase o rangos.
Estos datos son solo de ayuda ya que el consultor de estadística puede escoger datos comerciales o mas conocidos que faciliten su recordación
Frecuencia
Es el numero de veces que se repiten los datos en un intervalo de clase.
Punto medio(x)
Es el resultado de tomar el limite inferior izquierdo mas el limite superior derecho y dividido por dos
∑40 ∑ 4462498,25 ∑ 24624990
IC= 1'000.000-200.000
_____________________ = 126541,367 Aproximadamente= 125000
1+3,22 (Log40)
Los anteriores datos son ayudas para ubicar el ancho o el espesor del intervalo de clase = 126,367 y el de-terminador 6,32 la cantidad de intervalos de clase o rangos.
Estos datos son solo de ayuda ya que el consultor de estadística puede escoger datos comerciales o mas conocidos que faciliten su recordación
Frecuencia
Es el numero de veces que se repiten los datos en un intervalo de clase.
Punto medio(x)
Es el resultado de tomar el limite inferior izquierdo mas el limite superior derecho y dividido por dos
|
Rango
|
Frecuncia (F)
|
Punto medio (x)
|
F*X
|
|
200000-324999,5
|
11
|
262499,75
|
2887497,25
|
|
325000-449999,5
|
6
|
387499,75
|
2324998,50
|
|
450000-574999,5
|
3
|
512499,75
|
1537499,50
|
|
575000-699999,5
|
2
|
637499,75
|
1274999,5
|
|
700000-824999,5
|
2
|
762499,75
|
1524999,5
|
|
825000-949999,5
|
9
|
887499,75
|
7987497,75
|
|
950000-1074999,5
|
7
|
1012499,5
|
7087496,5
|
∑40 ∑ 4462498,25 ∑ 24624990
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